Gravitation und die Keplerschen Gesetze
Der Apfel fällt vom Baum, der Mond kreist um die Erde, die Erde um die Sonne – hinter allem steckt dieselbe Kraft: die Gravitation. Isaac Newton hat sie 1687 in einem einzigen Gesetz beschrieben.
Das Gravitationsgesetz
Zwei Körper ziehen sich gegenseitig an. Die Kraft ist umso größer, je größer ihre Massen sind, und sie wird schnell kleiner, wenn der Abstand wächst:
F = G · m1 · m2 / r² Newtonsches Gravitationsgesetz
- m1, m2: Massen der Körper in kg, r: Abstand ihrer Mittelpunkte in m
- G = 6,674 · 10−11 N · m²/kg² ist die Gravitationskonstante – eine winzige Zahl. Deshalb merkt man die Anziehung nur, wenn mindestens ein Körper riesig ist, wie ein Planet.
- Doppelter Abstand → nur noch ein Viertel der Kraft, dreifacher Abstand → ein Neuntel.
Beispiel: Warum zwei Menschen sich nicht anziehen (fast)
Zwei Personen mit je 70 kg im Abstand von 1 m: F = 6,674 · 10−11 · 70 · 70 / 1² N ≈ 3,3 · 10−7 N. Das ist ungefähr die Gewichtskraft eines Staubkorns.
Woher der Ortsfaktor kommt
Setzt man für m1 die Masse M eines Planeten und für r seinen Radius ein, erhält man die Gewichtskraft F = m · g mit
g = G · M / r² Ortsfaktor (Fallbeschleunigung)
Beispiel: Ortsfaktor der Erde
M = 5,97 · 1024 kg, r = 6371 km = 6,371 · 106 m:
g = 6,674 · 10−11 · 5,97 · 1024 / (6,371 · 106)² m/s² ≈ 9,82 m/s².
Auf dem Mond ist g nur etwa ein Sechstel davon. Wie schwer Du auf anderen Planeten wärst, zeigt der Gewicht-Rechner.
Die drei Keplerschen Gesetze
Johannes Kepler fand um 1610 aus jahrelangen Beobachtungen des Mars drei Regeln für die Planetenbahnen – Newton konnte sie später mit dem Gravitationsgesetz erklären.
- Ellipsensatz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen. Die Sonne steht in einem der beiden Brennpunkte. (Die echten Bahnen sind fast Kreise: Der Abstand Erde–Sonne schwankt im Jahr nur zwischen 147 und 152 Mio. km.)
- Flächensatz: Die Verbindungslinie Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Deshalb ist ein Planet in Sonnennähe (Perihel) schneller als in Sonnenferne (Aphel).
- Dritter Satz: Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen: T² / a³ ist für alle Planeten gleich.
T1² / a1³ = T2² / a2³ 3. Keplersches Gesetz
Beispiel: Umlaufzeit des Mars
Misst man T in Jahren und a in Astronomischen Einheiten (AE), gilt für die Erde 1² / 1³ = 1. Also für alle Planeten T² = a³.
Mars: a = 1,524 AE ⇒ T = √(1,524³) = √3,540 ≈ 1,88 Jahre – das stimmt mit der Beobachtung (687 Tage).
Satelliten und Schwerelosigkeit
Warum fällt der Mond nicht auf die Erde? Er fällt – aber er ist gleichzeitig so schnell zur Seite unterwegs, dass er immer an der Erde „vorbeifällt“. Die Gravitation hält ihn auf seiner Kreisbahn, sie liefert die nötige Zentripetalkraft.
- Die Internationale Raumstation ISS umkreist die Erde in rund 400 km Höhe mit etwa 28 000 km/h und braucht für eine Runde gut 90 Minuten.
- Dort oben ist die Gravitation noch fast 90 % so stark wie am Boden. Die Astronauten schweben trotzdem, weil sie zusammen mit der Station im freien Fall um die Erde sind – wie in einem Aufzug, dessen Seil gerissen ist.
- Ein geostationärer Satellit (z. B. für Fernsehen) kreist in 35 786 km Höhe genau in 24 Stunden um die Erde und steht deshalb scheinbar still am Himmel.
Typischer Fehler
„Im Weltall gibt es keine Schwerkraft.“ Doch – sonst würde der Mond geradeaus davonfliegen. Schwerelosigkeit bedeutet nur, dass man frei fällt und deshalb nichts von seinem Gewicht spürt.
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